齿轮设计中如何选择模数？
以下是答主在精密传动设计中，关于齿轮模数选择的心得。齿轮模数对传动精度（输出扭矩曲线）的影响几乎是第一位的，一定范围内，模数越小、传动精度越高，模数越大、齿轮强度越高。
（以下不区分『传动精度』、『输出扭矩曲线』，并视二者为近义词；本文只讨论直齿轮，篇幅限制，斜齿轮不在讨论范围内，但可以类比）
摘要（太长不看版）：精密传动设计很繁琐，本文主要介绍齿轮参数调参。多数情况下，选符合强度要求的最小的模数即可。
关于齿轮材料（金属/塑料）：金属/塑料齿轮的设计非常不一样，不同材质（模量、屈服极限），输出扭矩曲线的区别很大，但（齿面/齿根）受力规律的区别很小，模数一般只影响齿根受力、不影响齿面受力。塑料齿轮无法在精密传动中使用（形变大、传动精度低），故本回答只讨论20CrMnTi（精密齿轮钢，屈服极限 850 MPa，表面硬化后，表面硬度 60 HRC、表面屈服极限1500 MPa）。
1. 模数对传动精度的影响（无摩擦）
考虑『ISO 53:1998轮廓A 齿形、20 度压力角、厚度 5 mm（此处应该取 7 mm 以上，答主写文时疏忽了）、无修形、无变位，负荷 10 Nm、转速 4775 RPM、中心矩公差为 0』，如果齿厚公差（以及背隙、齿距误差）为 0（关于齿厚公差、背隙、齿距误差对传动精度的影响，推荐阅读
）、摩擦系数为 0（无摩擦）的1 模 24 齿的齿轮副，输出扭矩曲线为（此时，扭矩的波动只受齿形和材料模量影响）：
换成1.5 模 16 齿，则：
换成2 模 12 齿，则：
换成0.5 模 48 齿，则：
换成0.25 模 96 齿，则：
考虑扭矩的波动率最大扭矩最小扭矩额定扭矩(=最大扭矩−最小扭矩额定扭矩=10Nm)\left( = \frac{最大扭矩 - 最小扭矩}{额定扭矩 = 10 Nm} \right)，而不是平均扭矩，因为精密传动更关注输出扭矩的波动范围，则以上模数中，0.5 模的传动精度最高。
模数-扭矩波动率：
简单地数据处理后：
由图可见，传动精度最高的模数可能不是 0.5，而是 0.4～0.5 之间。（篇幅考虑，不继续分析传动精度更高的模数）
2. 摩擦力对传动精度的影响
考虑摩擦系数为 0.1（有摩擦，0.1 是有润滑时钢-钢比较普遍的摩擦系数）。以下图片因为一些技术原因，y 轴显示的是功率耗损，而不是扭矩耗损，但问题不大，齿轮副的额定功率是 5.000 kW（RPM 为 4775 = 9550 / 2，因此功率刚好是整数），y 轴数值除以 50 就可以得到（摩擦力导致的）扭矩耗损（百分比）。
（以下不区分功率损耗和扭矩损耗，因为两者基本是等价的；以下只计算了摩擦力导致的扭矩波动、没有计算章节 1 中齿形和材料模量导致的扭矩波动）
0.25 模 96 齿时：
0.5 模 48 齿时：
1 模 24 齿时：
1.5 模 16 齿时：
2 模 12 齿时：
考虑扭矩损耗的波动率最大损耗最小损耗额定扭矩(=最大损耗−最小损耗额定扭矩=10Nm)\left( = \frac{最大损耗 - 最小损耗}{额定扭矩 = 10 Nm} \right)，而不是平均（或者中位数）扭矩损耗，因为精密传动更关注输出扭矩的波动范围，则以上模数中，0.25 模最好。
模数-损耗波动率：
简单地数据处理后：
由图可见，模数越小，因摩擦力导致的，扭矩损耗的波动率越小。若想将扭矩波动控制在 1% 左右%，模数最大只能取 0.75 左右。
3. 模数对传动精度的影响（有摩擦）
若同时考虑章节 1 中齿形和材料模量、章节 2 中摩擦力的影响，即可得到最终的输出扭矩曲线（假设没有制造误差）。
0.5 模 48 齿：
（因篇幅考虑，不再给出其他模数，最终的输出扭矩曲线）
此时，名义（额定）输出扭矩约为 9.87 Nm，（最终）波动率约为9.90−9.859.87=0.5%\frac{9.90 - 9.85}{9.87}=0.5\%。
只考虑齿形和材料模量时的波动率：0.5%。只考虑摩擦力时的波动率：0.2%。考虑齿形和材料模量、摩擦力时的最终波动率：0.5%。最终波动率并不是0.5%+0.2%=0.7%0.5\% + 0.2\%=0.7\%，而是 0.5%，因为两者造成的扭矩波动会有部分相互抵消。
4. 『至高』传动精度
0.5% 扭矩波动率并不是齿轮设计能达到的最高传动精度，还有很多能提高设计精度的方法，例如修形、变位、非标齿形轮廓（ISO 53:1998轮廓A 虽然是最常见、最通用的，但还可以自行设计轮廓、构建渐开线），详情参见：
此外，加工误差对传动精度的影响，是可以被定量分析的。答主会将这些内容写在之后的回答中。
5. 模数对齿面/齿根强度的影响
一般来说，模数越大，齿根强度越高、齿面强度越低（但是降低的幅度很小），反之亦然，齿轮设计往往只需要考虑模数对齿根强度的影响，设计完成后校验一下齿面强度即可。『一般来说』中的『一般』指的是『没有使用错误的设计方式，或错误的制造工艺』，例如材质为45 号钢但不做淬火，导致很低的齿面屈服强度，这种情况是不符合本章节所述内容的...
（下图中，蓝线是齿根安全系数、红线是齿面安全系数）
0.5 模 48 齿时：
1 模 24 齿时：
齿面/齿根安全系数考虑了输入扭矩非恒定、有正态分布的特性，因此比较符合内燃机作为输入端、不太适用于电机作为输入端的情况。各国国标安全系数的参考值：
齿面/齿根安全系数，和（通过有限元分析计算的）齿面/齿根应力，结论略有不同。按照齿面/齿根安全系数计算出的齿厚，往往是依靠齿面/齿根应力计算的齿厚的 2 倍以上，如果输入端是电机，不建议遵循安全系数。
此外，齿厚对齿面/齿根强度往往是非线性关系。（关于齿厚，答主会写在之后的回答中）
图片来源（参考文献）：
[1]唐定国, 袁和相. 齿轮设计中的强度安全系数[J].机械传动, 1994(3):18-20.
相关内容推荐阅读
后记
最近还会写几篇关于齿轮设计的回答，有点累...某种意义上，我是把知乎当作一个笔记平台，写回答就像是记笔记一样。
